Esperanza Matemática (Expectancy)
EN: Trading Expectancy / Mathematical Expectation PT: Expectativa Matemática
La métrica definitiva del trading profesional: la ganancia media esperada por operación, combinando tasa de acierto, ganancia media y pérdida media. Esperanza positiva significa estrategia rentable a largo plazo; negativa, ruina matemáticamente garantizada.
Qué es la esperanza matemática
La esperanza matemática de una estrategia es la ganancia media que cabe esperar por operación, y se calcula combinando la probabilidad de acierto con el tamaño medio de las ganancias y de las pérdidas. Su fórmula es E = (Tasa de acierto × Ganancia media) − (Tasa de fallo × Pérdida media).
Una esperanza positiva significa que la estrategia es rentable a largo plazo, porque cada operación tiene un beneficio esperado positivo. Una esperanza negativa garantiza matemáticamente la ruina eventual, por mucha habilidad, paciencia o capital que se tenga. Y una esperanza nula equivale a empatar antes de costes, lo que neto de comisiones y deslizamiento es una pérdida.
Este concepto es la brújula del trading profesional porque zanja el falso debate entre las filosofías de «alta tasa de acierto» y «alta relación ganancia-pérdida»: ambas pueden producir esperanza positiva si sus parámetros están bien equilibrados.
Con dos ejemplos. La estrategia A acierta el 70% con una ganancia media de $100 y una pérdida media de $80: E = 0,70 × 100 − 0,30 × 80 = +$46 por operación. La estrategia B acierta solo el 30% pero gana $400 de media y pierde $80: E = 0,30 × 400 − 0,70 × 80 = +$64 por operación. La estrategia B es superior pese a acertar mucho menos.
El sistema de múltiplos de R de Van Tharp expresa ganancias y pérdidas como múltiplos del riesgo inicial: si se arriesgan $100, una ganancia de $200 es 2R y una pérdida de $50 es −0,5R. En esa escala, la referencia habitual es que E ≥ 0,5R se considera nivel profesional rentable, E ≥ 1R excelente y E ≥ 2R excepcional.
Tasa de acierto y relación ganancia-pérdida
El compromiso entre ambas variables define el carácter de cada estrategia.
Las de alta tasa de acierto y relación baja —scalping, reversión a la media, spreads de crédito— aciertan entre el 70% y el 80% con relaciones de 1 a 0,5 o 1 a 1,2. Un iron condor que acierte el 75% con una relación de 1 a 0,5 —gana 0,5R y pierde 1R— tiene una esperanza de 0,75 × 0,5 − 0,25 × 1 = 0,125R: positiva pero modesta, y muy sensible a cualquier deterioro de la tasa de acierto.
Las de baja tasa de acierto y relación alta —rupturas, seguimiento de tendencia, opciones compradas— aciertan entre el 30% y el 40% con relaciones de 1 a 3 o 1 a 10. Unas rupturas que acierten el 35% con relación de 1 a 4 dan 0,35 × 4 − 0,65 = 0,75R, una esperanza mucho más sólida.
Ninguna es intrínsecamente mejor: depende de la psicología del operador, de las características de la estrategia y del régimen de mercado. Las de alta tasa de acierto son psicológicamente más llevaderas y tienen menos varianza, pero las pérdidas duelen más cuando llegan y exigen disciplina para cortarlas. Las de alta relación necesitan menos operaciones y construyen patrimonio con los grandes aciertos, pero obligan a soportar entre un 60% y un 70% de operaciones perdedoras.
La tabla de umbrales es útil para calibrar. Con un 50% de acierto hace falta una relación superior a 1 a 1: con 1 a 1,5 la esperanza es +0,25R y con 1 a 2, +0,5R. Con un 40%, hace falta superar 1,5 a 1: con 1 a 2 queda +0,2R, con 1 a 3 sube a +0,6R y con 1 a 5 alcanza +1,4R. Con un 30%, el umbral está en 2,33 a 1: con 1 a 3 queda +0,2R y con 1 a 5, +0,8R. Y con un 70% de acierto funciona incluso con relaciones de 0,43 a 1: con 1 a 1 ya da +0,4R.
Aplicación práctica y seguimiento
Calcular la esperanza real exige un registro riguroso de operaciones. Para cada una hay que anotar siete datos: precio y fecha de entrada, stop y objetivo, precio y fecha de salida, resultado en múltiplos de R, importe arriesgado, nombre de la estrategia y motivos de entrada documentados antes de abrir.
El tamaño de muestra mínimo son 30 operaciones para que el cálculo signifique algo, y más de 100 para tener confianza razonable. Por debajo de eso, el resultado es ruido estadístico.
Cada 30 o 50 operaciones conviene recalcular tasa de acierto, ganancia media, pérdida media y esperanza, y seguir su evolución: una esperanza que tiende a la baja señala que la estrategia se está deteriorando.
El análisis segmentado aporta mucho: desglosar la esperanza por régimen de mercado, por tipo de instrumento, por franja horaria o por día de la semana revela dónde funciona mejor y dónde peor la estrategia, y permite concentrarse en las condiciones más favorables.
Hay un factor que suele olvidarse: el coste de oportunidad. La esperanza ajustada por frecuencia se obtiene multiplicando la esperanza por operación por el número de operaciones al año. Una estrategia de +0,5R con solo 10 operaciones anuales produce 5R al año; otra de +0,2R con 100 operaciones produce 20R. Una esperanza menor por operación puede ser superior en términos anuales, siempre que la frecuencia no dispare las comisiones ni el desgaste.
Y una advertencia sobre las rachas malas: tras una caída, lo correcto es volver a operar con normalidad y no en modo agresivo para recuperar. La aritmética de la esperanza es implacable en ambos sentidos, y forzar el tamaño solo acelera el deterioro.
Relación con el criterio de Kelly
El criterio de Kelly usa la esperanza para calcular el tamaño óptimo de posición. Su fórmula es f* = W − (1 − W) / R, donde W es la tasa de acierto y R la relación entre ganancia y pérdida media. Con un 60% de acierto y una relación de 1 a 2: f* = 0,60 − 0,40 / 2 = 0,40, es decir, el 40% del capital.
Ese resultado es matemáticamente óptimo para maximizar el crecimiento a largo plazo, y a la vez completamente inaplicable en la práctica: produce caídas superiores al 25% de forma habitual. Por eso lo habitual es usar la mitad o la cuarta parte de esa cifra.
Edward Thorp lo demostró empíricamente, primero contando cartas y después en su fondo Princeton-Newport, y su experiencia real confirma que el Kelly completo genera oscilaciones que la mayoría no soporta psicológicamente.
El criterio aporta tres lecciones. Que hace falta esperanza positiva, porque una f* negativa significa sencillamente no operar. Que la esperanza por sí sola no basta: también hacen falta la tasa de acierto y la relación. Y que el tamaño escala con la ventaja, pero la varianza escala con él.
Conviene además una distinción que se confunde con frecuencia: la f* de Kelly es la fracción apostada, no el «riesgo por operación» del 1-2% de la gestión de riesgo clásica. Solo coinciden cuando la pérdida máxima equivale al 100% de lo comprometido, como en una opción comprada.
El enfoque profesional consiste en calcular el Kelly completo como referencia teórica y aplicar después una fracción, integrándolo con el riesgo de ruina: un tamaño que produzca una probabilidad de ruina aceptable —por debajo del 1%— sin renunciar al efecto del interés compuesto.
Referencias de esperanza matemática por nivel
Expresada en múltiplos de R, que permite comparar estrategias de riesgo distinto.
| Nivel | Esperanza (R) | Rendimiento anual | Perfil |
|---|---|---|---|
| < 0 | Negativo | La mayoría antes de formarse | |
| 0 a 0,2R | 0-5% | Particular con experiencia | |
| 0,5-1R | 20-50% | Operador consolidado | |
| 1-2R | 50-150% | Gestor de fondo de élite | |
| > 2R | >150% | Casos aislados y muy raros |
Preguntas Frecuentes
¿Qué esperanza se considera buena?
Conviene tener presente que, después de comisiones y deslizamiento, las estrategias minoristas suelen partir con un lastre de entre 0,2R y 0,5R que hay que superar solo para quedar en positivo.
Como objetivos realistas: en los primeros seis meses basta con superar cero; en el primer año, apuntar a 0,3R; a partir del segundo o tercer año, a 0,5R; y de ahí en adelante, refinamiento continuo.
¿Puede una estrategia rentable en simulación tener esperanza negativa en real?
La recomendación práctica es simular en papel cualquier estrategia nueva durante tres a seis meses antes de comprometer capital real, y comparar después los resultados reales con los teóricos.
¿Cómo calculo la esperanza en opciones?
A partir de ahí se calculan tasa de acierto, tasa de fallo, ganancia media y pérdida media, y se aplica la misma fórmula.
En las estructuras de varias patas —iron condors, calendarios— hay que registrar cada posición completa como una sola operación, desde la apertura hasta el cierre o el vencimiento. Llevar la contabilidad pata a pata distorsiona por completo el cálculo.
Y conviene segmentar por tipo de estrategia, porque mezclar opciones compradas con venta de prima en un mismo cálculo produce una media que no describe bien a ninguna de las dos.
¿Cuántas operaciones necesito para un cálculo fiable?
Hay un matiz importante: la esperanza no es estacionaria. Los cambios de régimen de mercado la alteran, así que una cifra calculada sobre toda la historia puede no describir la situación actual.
El enfoque profesional es calcular una esperanza móvil sobre las últimas 50 o 100 operaciones y vigilar su tendencia: un descenso sostenido señala que la estrategia se está degradando. Segmentarla además por condiciones de mercado ayuda a identificar en qué entornos funciona realmente.
¿Puedo combinar la esperanza con el criterio de Kelly?
El resultado es el ritmo de crecimiento teóricamente óptimo, pero acompañado de caídas que pueden superar el 50%. El medio Kelly reduce a la vez crecimiento y caída, y el cuarto de Kelly es todavía más conservador.
Un aviso práctico: si el cálculo devuelve un tamaño de posición muy grande, casi siempre indica que la ventaja estimada es irrealmente alta y conviene revisar los números.
Para el operador particular, lo razonable es una fracción fija del 1% al 2% con independencia de lo que sugiera la fórmula. Kelly resulta útil como referencia teórica, no como regla prescriptiva; solo los profesionales con estrategias muy contrastadas trabajan con medio Kelly.